Movimento Uniformemente Variado

 

1) A queda livre é um movimento retilíneo uniforme?

Por volta de 1590, Galileu estudava o movimento de vários objetos  no plano inclinado e notou que, tanto na subida como na descida, havia variação da velocidade, concluiu, então, que se o plano fosse horizontal, e o atrito desprezível, o movimento seria retilíneo e uniforme. Como a queda livre é um caso particular de declive (ângulo com inclinação de 90^o), não é um movimento retilíneo e uniforme, pois a medida que mais o corpo está próximo do chão a sua velocidade aumenta, desprezando a resistência do ar.

 

2) Se a queda livre não é um movimento retilíneo uniforme, que  movimento é?

Quando analisa-se as conclusões de Galileu para objetos em queda livre e em planos inclinados, observa-se uma característica muito importante desse tipo de movimento é o módulo da velocidade varia uniformemente, isto é, esta submetida à uma aceleração constante.

a = a_m = Δv / Δt = constante.

Como o movimento tem trajetória retilínea, essa aceleração só tem componente na direção do movimento. Além disso o valor da aceleração não varia com o passar do tempo, o da aceleração média também será constante. 

3) Como recebe o nome desse tipo de movimento?

Em regra geral, são comuns eventos em que a velocidade de um corpo varia ao longo do tempo, caracterizando um movimento variado. Assim, todo móvel em que a variação da velocidade é constante, em intervalos de tempos iguais, está executando um movimento uniformemente variado (MUV). Então, podemos concluir que um MUV é todo aquele cuja aceleração escalar é constante e diferente de zero.

O gráfico da aceleração será da seguinte forma:

 

4) O que significa dizer que o módulo da velocidade varia uniformemente?

Significa que o módulo da velocidade de um objeto que parte do repouso varia sempre da mesma forma em função do tempo. Se dissermos que a aceleração de um móvel é 10 m/s², significa que a cada segundo sua velocidade aumenta 10 m/s. No gráfico abaixo é possível notar isso:

 

5) Um móvel passa por um ponto A no instante t₁ = 0 s, com a velocidade de 20 m/s. Ao passar por B, no instante t₂ = 5 s, sua velocidade é 40 m/s. Calcular a aceleração média.

a_m = Δv / Δt = (40 – 20) /  (5 – 0) = 20 / 5 = 4 m/s².

Como a = 4 m/s², o movimento é dito acelerado, uma vez que a velocidade e a aceleração possuem mesmo sinal. Observe que a aceleração e a velocidade possuem o mesmo sentido.

 

6) Um móvel passa por um ponto A no instante t₁ = 0 s, com a velocidade de 40 m/s. Ao passar  por B, no instante t₂ = 5 s, sua velocidade é de 20 m/s. Calcular a aceleração média.

a_m = Δv / Δt = (20 – 40) /  (5 – 0) = –20 / 5 = –4 m/s².

Como a = –4 m/s², o movimento é dito retardado, uma vez que a velocidade e a aceleração possuem sinais diferentes. Observe que a aceleração e a velocidade possuem sentidos opostos.

 

7) Um móvel está deslocando com a velocidade de 20 m/s. Em um determinado instante, passa a acelerar 4 m/s². Qual é a equação horária da velocidade? É possível dizer sua velocidade após 6 s?

Para aplicar no caso particular acima, vamos fazer aos casos gerais. Como no MUV, a aceleração escalar média coincide com a aceleração do movimento, temos:

a = Δv / Δt = (v – v₀) / (t – t₀).

Se t₀ = 0, então:

a =  (v – v₀) / t.

E assim:

a∙t = v – v₀.

a∙t + v₀ = v.

 

A velocidade v final desejada será dada pela função horária da velocidade:

v = v₀ + a∙t

No nosso caso particular, teremos a função da velocidade em relação ao tempo:

v = 20 + 4t

E a velocidade após 6 s do movimento nessa aceleração constante será:

v = 20 + 4 x 6 = 20 + 24 = 44 m/s.

Note que no tempo 5s a sua velocidade era 40 m/s e no tempo 6s tem-se 44 m/s, o que confirma uma variação uniforme na velocidade.

 

8) Um móvel está deslocando com a velocidade 40 m/s. Em um determinado instante, passa a desacelerar 4 m/s². Qual é a equação horária da velocidade? É possível dizer sua velocidade após 6 s?

A desaceleração caracteriza um movimento retardado, logo a= – 4m/s².

Nesse caso, teremos a função da velocidade em relação ao tempo:

v = 40 – 4t

E a velocidade após 6 s do movimento retardado  será:

v = 40 – 4 x 6 = 40 – 24 = 16 m/s.

Note que no tempo 5s a sua velocidade era 20 m/s e no tempo 6s tem-se 16 m/s, o que confirma uma variação uniforme na velocidade.

 

9) Como é descrito o deslocamento no MUV?

Retomando a conclusão de Galileu de que, durante a queda livre e vertical de um corpo, os deslocamentos variam em função do quadrado do tempo e concluir que isso ocorre para qualquer MUV:

Como Δs = v_m ∙ t e que no MUV, v_m = (v + v₀) / 2 e v = v₀ + at, podemos calcular:

Δs = v_m ∙ t

s – s₀ = [(v + v₀) / 2 ] ∙ t

s – s₀ = [(v₀ + at + v₀) / 2 ] ∙ t

s – s₀ = [(2v₀ + at) / 2 ] ∙ t

s – s₀ = v₀t + (at²) / 2

 

Então a função deslocamento em relação ao tempo no MUV é:

E a função posição em relação ao tempo no MUV é:

 

10) Um móvel está deslocando com a velocidade de 20 m/s. Em um determinado instante, passa a acelerar 4 m/s². Qual é a equação horária da posição? É possível dizer sua posição após 6 s em relação à origem?

A função posição em relação ao tempo será:

s = 20t + (4t²) / 2 = 20t + 2t²

E a sua posição em relação à origem em t = 6 s será:

s = 20t + 2t²

s = 20 x 6 + 2 x 36

s = 120 + 72

s = 192 m.

E assim também será possível calcular a posição correta um móvel em queda livre ou em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV).

 

11) Uma pedra é lançada verticalmente para cima com velocidade inicial de módulo 20 m/s. Sabendo que a aceleração é a da gravidade do local e tem módulo 10 m/s². Calcular a altura máxima atingida. É possível saber a distância percorrida após 4 s.

No ponto de altura máxima, o módulo da velocidade instantânea é zero. Como v₀ e a são conhecidos, pode-se calcular o tempo necessário para atingir esse ponto utilizando a função da velocidade, lembrando que o movimento para cima é retardado e a aceleração terá sinal negativo:

v = v₀ + at => 0 = 20 – 10t => 10t = 20 => t = 2 s.

A função do modulo do deslocamento no tempo, no MUV, permite calcular a altura máxima no tempo t = 2s, ou seja:

d = v₀t + (at²) / 2 = 20 x 2 + (–10 x 2²) /2 = 40 – 20 = 20 m.

Como há inversão de sentido após 2 s, a pedra sai e retorna ao mesmo ponto, sendo seu deslocamento zero. Para calcular a distância percorrida após 4 s, deve-se considerar que a pedra leva 2 s para subir e 2 s para descer, portanto percorrerá uma distância de 40m.

 

12) Um carro sai da posição inicial escalar s₀ = 12 m com velocidade escalar v₀ = 4 m/s e possui uma aceleração constante de 2 m/s². Qual é a função horária da posição do movimento? É possível calcular a sua posição após 6 s?

Como esses valores são constantes para esse movimento, podem ser substituídos na função da posição:

s = 12 + 4t + t²

Após 6 s do movimento sua posição será:

s = 12 + 4 x 6 + 6²

s = 12 + 24 + 36

s = 72 m

13) Do movimento anterior, obter o função velocidade e a velocidade instantânea quando t = 2 s e quanto t = 6 s.

v = 4 + 2t

v(2) = 4 + 4 = 8 m/s

v(6) = 4 + 12 = 16 m/s

 

14) O que é preciso saber sobre o MRUV?

Quando não estamos na mudança de direção no MUV, podemos utilizar as funções e propriedades do MRUV para determinar, ao longo de uma trajetória numerada:

ü  a posição escalar: s = s₀ + d

                                   s = s₀ + v₀∙t + (a ∙ t²) / 2

ü  o deslocamento escalar: d = v_m ∙ t

d = Δs = s – s₀

d = Δs = v₀ ∙ t + (a ∙ t²) / 2.

ü  a velocidade escalar: v = v₀ + a ∙ t

ü  a aceleração escalar: a = Δv / Δt = constante

ü  Os gráficos do movimento uniformemente variado são da seguinte forma: 

 

Atividades:

1) Julgue cada afirmativa como verdadeira (V) ou falsa (F):

a) Um objeto caindo em queda livre apresenta módulo de aceleração constante. (    )

b) Um objeto caindo em queda livre apresenta módulo de velocidade constante. (    )

c) No MUV, o deslocamento escalar é proporcional ao tempo. (    )

d) No MUV acelerado, a aceleração é sempre positiva.

e) No MUV retardado, a aceleração e a velocidade são vetores opostos. (    )

f) No MUV a variação do módulo da velocidade é a mesma para intervalos de tempos iguais. (    )

g) O sinal negativo na aceleração indica que o movimento é retrógrado. (     )

h) O gráfico da aceleração em função do tempo é sempre uma reta paralela ao eixo do tempo. (     )

 

2) Um automóvel parte do repouso e após 30 s sua velocidade atinge 10 m/s, numa trajetória plana e reta.

a) Qual o valor da velocidade inicial?

b) Qual o valor da aceleração?

 

3) Um objeto está se deslocando em MUV com velocidade escalar 25 m/s, quando se inicia a contagem do tempo. Após 5 s, sua velocidade passa a ser 35 m/s.

a) Determine a aceleração escalar do objeto.

b) Escreva a função da velocidade em relação ao tempo.

c) Determine a velocidade escalar após 9 segundos.

d) Determine o deslocamento escalar após 5 segundos.

e) O movimento é acelerado ou retardado?

 

 

4) Uma pedra é abandonada do alto de um edifício e atinge o solo 3 s depois. Considere que seu movimento é retilíneo e uniformemente variado com módulo de aceleração 10 m/s². Desprezando a resistência do ar, determine:

a) a altura de onde a pedra foi abandonada, no edifício;

b) o módulo da velocidade ao atingir o solo.

 

5) Um trem desloca-se em movimento retilíneo com velocidade constante de 10 m/s quando são acionados os freios, até parar em frente a uma estação. Sabendo-se que o tempo necessário para tanto foi de 2 minutos, responda:

a) Qual o valor de sua aceleração?

b) Qual o significado do sinal da aceleração obtido no item anterior?

 

6) Um brinquedo cai na mão de uma criança que está à janela de um prédio. Durante a queda do brinquedo, a função de sua velocidade em relação ao tempo é: v = 10t, em unidade do SI:

a) Qual o valor da aceleração de queda do brinquedo?

b) Qual o valor da sua velocidade após 3 s?

c) Qual o seu deslocamento se ele chega ao solo em 5 s?

 

7) Dois patinadores A e B localizados frente a frente em lados opostos em uma pista de patinação movem-se em MRUV cujas equações de suas posições em função do tempo são respectivamente: s_A  = 3t² e s_B = 36 – t². Todas as grandezas estão em SI.

a) Qual é a posição dos dois patinadores no momento da partida?

b) Em qual instante se dará o encontro deles?

c) Em que posição eles se encontrarão?

d) Qual a velocidade de cada um no momento do encontro?

 

8) Um objeto desloca-se numa trajetória retilínea de acordo com a função da posição em relação ao tempo s = 10 + 5t + 3t², em que s é medido em metros e t, em segundos.

a) Qual é a posição do objeto após 5 segundos?

b) Descubra se a velocidade é maior no instante 1 s ou no instante 3 s.

 

9) Uma pedra é lançada verticalmente para cima, com módulo de velocidade 40 m/s. Considere o ponto de lançamento como origem, despreze a resistência do ar e considere o módulo da aceleração da gravidade sendo 10 m/s².

a) Qual a altura máxima atingida?

b) Qual é o tempo necessário para a pedra retornar ao ponto de onde foi lançada?

c) Qual é o módulo do deslocamento após 6 segundos?

d) Qual é a distância percorrida após 8 segundos?

e) Se a massa da pedra for duplicada, quais serão as novas respostas c e d?

 

10) Um carro passa por dois pontos A e B numa rodovia em que as posições são registradas em placa indicativa a cada quilômetro. A velocidade escalar desse veículo ao passar por cada ponto foi registrada em 72 km/h e 30 m/s, respectivamente. Sabendo que a aceleração escalar do carro vale 2,5 m/s², determine seu deslocamento escalar entre A e B.

 

11) Um avião vai decolar em uma pista retilínea. Ele inicia seu movimento na cabeceira da pista com velocidade nula e corre por ela com aceleração média de 2 m/s² até o instante em que levanta voo, com uma velocidade de 80 m/s, antes de terminar a pista.

a) Calcule quanto tempo o avião permanece na pista desde o início do movimento até o instante em que levante voo.

b) Determine o menor comprimento dessa pista.

 

12) (UERJ) Foi veiculada na televisão uma propaganda de uma marca de biscoitos com a seguinte cena: um jovem casal estava em um mirante sobre um rio e alguém deixa cair lá de cima um biscoito. Passados alguns segundos, o rapaz se atira do mesmo lugar de onde caiu o biscoito e consegue agarra-lo no ar. Em ambos os casos, a queda é livre, as velocidades iniciais são nulas, a altura da queda é a mesma e a resistência do ar é nula. Para Galileu Galilei, a situação física desse comercial seria interpretada como:

       (A) impossível porque a altura da queda não era grande o suficiente.

       (B) possível, porque o corpo mais pesado cai com maior velocidade.

       (C) possível, porque o tempo de queda de cada corpo depende de sua forma.

       (D) impossível, porque a aceleração da gravidade não depende da massa do corpo.

13) O gráfico da velocidade em função do tempo de um móvel que se move com aceleração constante é mostrado abaixo:

Analise o gráfico acima e responda:

a) Qual é o módulo da velocidade inicial do móvel?

b) Qual é o módulo da velocidade final do móvel?

c) Qual é o módulo da aceleração do móvel?

d) Classifique o movimento como progressivo ou regressivo, retardado ou acelerado.

e) Calcule, por meio do gráfico, o módulo do deslocamento sofrido pelo móvel.

f) Determine em qual instante a velocidade do móvel terá módulo igual a 60 m/s.

14) Observe o gráfico de velocidade em função do tempo mostrado a seguir:

Em relação ao movimento descrito por esse gráfico, assinale somente a alternativa correta.

      (A) Trata-se de um movimento regressivo com aceleração positiva.

       (B) Trata-se de um movimento progressivo e com aceleração constante.

       (C) Trata-se de um movimento uniforme e progressivo.

       (D) Trata-se de um movimento retilíneo uniformemente retardado.

       (E) Trata-se de um movimento retilíneo de aceleração variável.

 

15) Analise o diagrama de movimento de um móvel mostrado a seguir:

Em relação ao movimento descrito pelo diagrama mostrado acima, assinale a alternativa correta:

      (A) Trata-se de um movimento uniforme e progressivo.

      (B) Trata-se de um movimento regressivo e retardado.

      (C) Trata-se de um movimento progressivo e retardado.

      (D) Trata-se de um movimento regressivo e acelerado.

      (E) Trata-se de um movimento uniforme e regressivo.

 

16) Analise o diagrama da posição (s) em função do tempo (t) abaixo e assinale a alternativa correta:

      (A) O movimento descrito pelo gráfico acima é de velocidade constante.

      (B) No movimento descrito pelo gráfico acima, a velocidade é crescente e a aceleração é constante.

      (C) No movimento descrito pelo gráfico é um movimento em queda livre.

      (D) O móvel representado pelo gráfico acima se encontra em processo de frenagem.

 

17) Analise o diagrama de velocidade em função do tempo apresentado na figura abaixo:

O deslocamento sofrido pelo móvel entre os instantes t = 0 s e t = 5 s é igual a:

       (A) 5 m

       (B) 0,5 m

       (C) -0,5 m

       (D) -1 m

Aprofunde-se: