Movimento Uniforme

1) Leia atentamente o texto:

Em uma batida, o velocímetro de um automóvel pode, em alguns casos, permanecer apontando a velocidade que o automóvel desenvolvia no instante imediatamente anterior ao da colisão, ou seja, a rapidez com que aquele móvel se locomovia no momento do acidente.

Sabemos que a velocidade escalar média é a grandeza que especifica o deslocamento escalar de um móvel na unidade de tempo. Então, para determinar a velocidade escalar instantânea (v) – ou seja, a velocidade escalar de um móvel num determinado instante -, calculamos o quociente Δs / Δt para valores infinitamente pequenos de Δt. Esse quociente assume, então, um determinado valor-limite. Mas, para fazermos esse cálculo, são necessários conhecimentos matemáticos avançados. Podemos, entretanto, dizer que a velocidade escalar instantânea é dada por:

com Δt muito pequeno.

Observemos que, de acordo com o sinal da velocidade escalar, o movimento de um corpo pode ser cassificado da seguinte forma:

ü v > 0, movimento progressivo (a favor da orientação da trajetória);

ü v < 0, movimento retrógrado (contra a orientação da trajetória).

Um valor de Δt muito pequeno representa um intervalo de tempo próximo a 0.

Com base no texto, qual das duas grandezas dá informação mais precisa sobre o movimento: a velocidade escalar média ou a velocidade escalar instantânea?

Nesse caso, a velocidade escalar instantânea descreverá melhor o movimento, porém a velocidade escalar média é um valor bem próximo ao valor da velocidade instantânea.

2) Como é chamado o tipo de movimento próximo ao descrito no texto?

Num movimento em que a velocidade escalar instantânea é igual à velocidade escalar média para qualquer intervalo de tempo é chamado de movimento uniforme. No movimento uniforme a velocidade se mantém constante em relação a um dado referencial e para quaisquer dois intervalos de tempo considerados, um móvel deverá percorrer distâncias iguais. Caso a trajetória seja retilínea, o movimento é denominado movimento retilíneo uniforme (MRU).

3) Como é descrito o movimento retilíneo uniforme?

O MRU caracteriza-se por ter o vetor velocidade constante. Por exemplo, uma pessoa caminha em linha reta com módulo de velocidade constante igual a 1,5 m/s durante 300 segundos. A velocidade média nesse percurso também será constante (v = v_m) e terá igualmente valor de 1,5 m/s. É bastante usual descrever o movimento através de gráfico no plano cartesiano, abaixo representa o gráfico da velocidade em função do tempo no exemplo anterior.

Note que o gráfico mostra uma semirreta paralela ao eixo do tempo, uma vez que o valor da velocidade é constante.

4) Qual é o módulo do deslocamento quando se caminha a 1,5 m/s durante 300 segundos?

A velocidade ser constante e ter valor 1,5 m/s significa que o deslocamento é de 1,5 metros em cada 1 segundo.

O deslocamento (d) no MRU pode ser obtido através da multiplicação da velocidade (v) pelo intervalo de tempo (Δt) em que ele ocorre:

d = v ∙ Δt => d = 1,5 x 300 = 450 metros.

5) Existe outra forma de obtermos o módulo do deslocamento?

Analisando um pouco mais a expressão do deslocamento:

d = v ∙ Δt = v ∙ (t_final – t_inicial).

Ao cronometrarmos o movimento a partir do tempo igual a zero (t_inicial = 0), a expressão se reduz a:

d = v ∙ t_final

d = v ∙ t

Agora, uma pessoa começa a caminhar da posição inicial 100 m, a um quarteirão do centro da praça mais próxima. Essa posição inicial é medida em relação a um referencial que, nesse caso, é o centro da praça. Esse referencial é denominado origem ou marco zero.

Se a pessoa saísse caminhando da origem das posições (marco zero), o módulo do deslocamento seria o mesmo da posição. Como, porém, começou na posição 100 m, se deslocar 300 m atingirá a posição de módulo 400 m.

Esse raciocínio pode ser sistematizado da seguinte forma:

d = Δs = s – s₀

s = s₀ + d

Como d = v ∙ t , então:

s = s₀ + v ∙ t.

Essa expressão s = s₀ + v ∙ t é denominada função da posição em relação ao tempo do MRU ou função horária da posição do MRU.

6) A pessoa do item acima, que sai da posição inicial 100 m em relação ao centro da praça, caminha com a velocidade de 1,5 m/s no MRU. Qual o módulo do deslocamento dessa pessoa, depois de passados 200 s? Qual é o módulo de sua posição em relação ao centro da praça no instante 200 s? O módulo do deslocamento e da posição coincidem?

Observe que a previsão da posição em que a pessoa estará após 200 segundos, saindo da posição inicial 100 m e caminhando com velocidade 1,5 m/s, pode ser confirmada com a função da posição em relação ao tempo MRU:

s = 100 + 1,5∙t

Nessa expressão podemos saber quais são as constantes do movimento (s₀ = 100 m e v = 1,5 m/s), ou seja, quais são os valores que não se alteram, enquanto s e t são as variáveis da função. Assim, quando t = 200s, temos:

s = 100 + 1,5 x 200 = 100 + 300 => s = 400 m.

Logo, o módulo da posição é 400 metros, porém o deslocamento da pessoa foi

d = Δs = s – s₀= 400 – 100 = 300 m.

Assim verificamos que os módulos da posição e do deslocamento não coincidem, pois o movimento não partiu da origem.

7) É possível determinar o tempo que uma pessoa em MRU poderá chegar a uma determinada posição?

No exemplo da pessoa caminhando na praça, com velocidade 1,5 m/s em MRU, para chegar a um ponto de ônibus que está a 700 m do centro da praça na direção e sentido do s₀, utilizamos a função horária do movimento:

s = 100 + 1,5t,

que permite calcular o valor da posição para qualquer instante e qualquer instante para um determinado valor da posição. Sabemos que a posição final do movimento da pessoa deverá ser 700 m. Assim, temos:

700 = 100 + 1,5t

1,5t = 700 – 150 = 550

t = 550 / 1,5

t = 400 s.

Logo, a pessoa demoraria 400 s (6 min e 40 s) para chegar à posição 700 m.

8) Como é descrito o deslocamento do MRU?

Para descrever o deslocamento e a posição em determinados instantes é utilizado o gráfico posição x tempo no plano cartesiano, inicialmente elaborando numa tabela valores de posição, deslocamento em alguns instantes e teremos:

A tabela, o gráfico e a função da posição em relação ao tempo têm como objetivo descrever e prever um movimento.

9) Onde é utilizado e aplicado o MRU?

Poucos movimentos são do tipo MRU, olhando à nossa volta é possível perceber que a maioria dos movimentos não tem trajetória retilínea. Quando a trajetória não é retilínea, mas o módulo da velocidade é constante, o movimento é dito movimento uniforme (MU). Às vezes, quando o foco não é a mudança de direção do movimento, mas os valores medidos numa escala, pode-se descrevê-lo como se a trajetória fosse uma linha reta. Se o módulo da velocidade não variar as funções e os gráficos do MRU poderão ser utilizados para descrever a velocidade escalar, o deslocamento escalar e a posição escalar do MU.

Nas rodovias existe, a cada quilômetro, um marco que registra a posição escalar em relação a posição escalar 0 km correspondendo ao marco zero de referência local. Por exemplo, no Estado de São Paulo a posição escalar 0 km corresponde ao marco zero, localizado na praça da Sé.

Os marcos das posições nas rodovias são consecutivos e crescentes que nos afastamos da capital.

10) Há diferença entre deslocamento escalar e distância percorrida?

Respondemos essa questão analisando o gráfico da descrição de um movimento:

O gráfico acima representa a posição escalar em função do tempo de um carro que saiu do marco zero de uma estrada, deslocou-se 400 m em 10 s, ficou 10 s parado e retornou à origem em 20 s. Calculemos o deslocamento escalar desse carro de 0 a 40 s:

Aplicando a definição d = Δs = s – s₀, o deslocamento escalar desse carro é zero, uma vez que saiu da posição escalar zero e voltou a essa mesma posição.

Mas não pode-se dizer que a distância percorrida foi zero, pois notado diversos deslocamentos durante o percurso até retornar à mesma posição: o carro percorreu 400m nos primeiros 10s e depois mais 400 no retorno, ou seja, a distância percorrida foi de 800 m.

Toda vez que existir mudança de sentido ao longo de uma trajetória, o deslocamento escalar não terá o mesmo valor da distância percorrida. Na realidade, em qualquer situação a distância percorrida deve ser obtida pela soma dos módulos dos deslocamentos escalares.

No exemplo, temos:

d_{0 a 10 s} = 400 – 0 = 400 m

d_{10 a 20 s}= 400 – 400 = 0 m

d_{20s a 40 s} = 0 – 400 m = –400 m

Logo, do exemplo vemos que deslocamento escalar total = zero e

distância percorrida = |400| + |0| + |–400| = 800m.

11) O que é preciso saber sobre o MRU?

No movimento uniforme (MU) ao longo de uma trajetória numerada, quando não estamos interessados na mudança de direção, podem ser utilizadas as funções e as propriedades do MRU para determinar:

ü a posição escalar: s = s₀ + v ∙ t

ü o deslocamento escalar: d = Δs = s – s₀

ü a velocidade escalar: v = v_m = d / Δt = constante

ü inclinação da reta no gráfico: v = (s₂ – s₁) / (t₂ – t₁)

ü a distância percorrida: soma dos deslocamentos escalares, caso haja mudança de sentido.

ü o vetor velocidade constante: uma grandeza vetorial só é constante quando o seu módulo, a sua direção e o seu sentido não sofrem variação. Em qualquer outro tipo de trajetória é possível que o módulo da velocidade seja constante, mas a direção e sentido não necessariamente. Por isso, o único movimento que pode ser feito se a velocidade vetorial é constante é o retilíneo uniforme.

ü O gráfico do movimento uniforme é uma semirreta: variando sua inclinação de acordo com a velocidade.

Os movimentos são descritos segundo as representações dos gráficos abaixo:

a) Movimento Uniforme Progressivo

b) Movimento Uniforme Retrógrado

12) Exercício Resolvido:

Atividades:

1) Julgue cada afirmativa como verdadeira (V) ou falsa (F):

a) Deslocamento é apenas mudança de posição. ( )

b) Uma característica do MRU é esta: a velocidade, em qualquer instante, é igual à velocidade média. ( )

c) No movimento uniforme progressivo o movimento se realiza no sentido das marcações decrescentes. ( )

d) No movimento uniforme retrógrado a velocidade é dotado de sinal negativo. ( )

2) Com relação ao movimento retilíneo uniforme, é incorreto afirmar que:

(A) o valor de sua velocidade é constante.

(B) o valor da velocidade média coincide com o valor da velocidade instantânea.

(D) as posições são invariáveis em qualquer instante considerado.

3) Se a velocidade vetorial de um ponto material é constante e não nula, sua trajetória:

(A) pode ser retilínea mas não necessariamente.

(B) deve ser retilínea.

(D) pode ser uma curva qualquer.

4) O módulo do vetor velocidade média pode ser igual ao valor da velocidade escalar média se:

(A) a trajetória for circular.

(B) a trajetória for uma elipse.

(D) a trajetória ser formada por uma pista transversal a outra.

5) Em uma maratona um corredor percorre 2,4 km no intervalo de tempo de 5 min. Qual o valor de sua velocidade média, em m/s?

6) Uma motociclista passeia pela rua com sua moto rumo ao centro da cidade, realizando num certo trecho um movimento uniforme cuja posição em função do tempo obedece à seguinte: s = 1.550 – 5t, em unidades do SI:

a) Qual o módulo da velocidade da motociclista?

b) Qual o significado do sinal negativo da velocidade?

c) Qual será sua posição após 10 min?

7) Dois motociclistas A e B se movimentam em MRU de acordo com as seguintes de acordo com as seguintes equações das posições em função do tempo:

s_A = 300 – 8t e

s_B= 100 + 12t.

Sabendo que os valores estão todos medidos no SI, responda:

a) Qual deles realiza movimento retrógrado?

b) Em Qual instante eles se encontrarão? (considere que no encontro dos ciclistas eles ocupam a mesma posição).

c) Qual é a posição em que eles se encontram?

8) Dois carros A e B estão separados por 75 km, medidos ao longo de uma estrada. Eles vêm um ao encontro do outro com movimentos uniformes e velocidades escalares de módulo constante, 80 km/h e 70 km/h, respectivamente. Em que posição escalar e em que instante se dará seu encontro?

9) (ENEM-2008) O gráfico a seguir modela a distância percorrida, em km, por uma pessoa em certo período de tempo. A escala de tempo a ser adotada para o eixo das abscissas depende da maneira como essa pessoa se desloca.

Qual é a opção que apresenta a melhor associação entre meio ou forma de locomoção e unidade de tempo, quando são percorridos 10 km?

(A) carroça – semana

(B) carro – dia

(D) bicicleta – minuto

(E) avião – segundo

10) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas a linha do Equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre.

Considerando o raio da terra igual a 6.370km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando-se as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente:

(A) 16 horas.

(B) 20 horas.

(D) 32 horas.

11) Um móvel com velocidade constante percorre uma trajetória retilínea à qual se fixou um eixo de coordenadas. Sabe-se que no instante t₀ = 0, a posição do móvel é s₀ = 500m e, no instante t = 20s, a posição é s = 200m. Determine:

a) A velocidade do móvel.

b) A função da posição.

c) A posição nos instantes t = 1s e t = 15s.

d) O instante em que ele passa pela origem.

12) A função horária do espaço de um carro em movimento retilíneo uniforme é dada pela seguinte expressão: s = 100 + 8t. Determine em que instante esse móvel passará pela posição 260m.

13) Dois carros A e B encontram-se sobre uma mesma pista retilínea com velocidades constantes no qual a função horária das posições de ambos para um mesmo instante são dadas a seguir: s_A = 200 + 20t e s_B = 100 + 40t. Com base nessas informações, responda as questões abaixo:

a) É possível que o móvel B ultrapasse o móvel A? Justifique.
b) Determine o instante em que o móvel B alcançará o móvel A, caso este alcance aconteça.

14) Um móvel em MRU gasta 10h para percorrer 1.100 km com velocidade constante. Qual a distância percorrida após 3 horas da partida?

15) O gráfico a seguir representa a função horária do espaço de um móvel em trajetória retilínea e em movimento uniforme.

Com base nele, determine a velocidade e a função horária do espaço deste móvel.

16) Um carro faz uma viagem de São Paulo ao Rio. Os primeiros 250 km são percorridos com uma velocidade média de 100 km/h. Após uma parada de 30 minutos para um lanche, a viagem é retomada, e os 150 km restantes são percorridos com velocidade média de 75 km/h.

A velocidade média da viagem completa foi, em km/h:

(A) 60

(B) 70

(D) 90

(E) 100

17) Ao passar pelo km 115 de uma rodovia, o motorista lê este anúncio: “Posto de abastecimento e restaurante a 12 minutos”. Se esse posto de serviços está localizado no km 130, qual é a velocidade média prevista para que se faça esse percurso?

18) Em grandes aeroportos e shoppings, existem esteiras móveis horizontais para facilitar o deslocamento de pessoas. Considere uma esteira com 48 m de comprimento e velocidade de 1,0 m/s. Uma pessoa que ingressa na esteira chegará ao topo da escada em quanto tempo?

19) (Enem - 2012) Uma empresa de transportes precisa efetuar a entrega de uma encomenda o mais breve possível. Para tanto, a equipe de logística analisa o trajeto desde a empresa até o local da entrega. Ela verifica que o trajeto apresenta dois trechos de distâncias diferentes e velocidades máximas permitidas diferentes. No primeiro trecho, a velocidade máxima permitida é de 80 km/h e a distância a ser percorrida é de 80 km. No segundo trecho, cujo comprimento vale 60 km, a velocidade máxima permitida é 120 km/h. Supondo que as condições de trânsito sejam favoráveis para que o veículo da empresa ande continuamente na velocidade máxima permitida, qual será o tempo necessário, em horas, para a realização da entrega?

(A) 0,7

(B) 1,4

(D) 2,0

(E) 3,0

20) O gráfico abaixo representa o movimento de um corpo.

Determine:

a) Os intervalos de um tempo em que o movimento é progressivo.

b) Os intervalos em que o movimento é retrógrado.

c) A velocidade em cada intervalo de tempo em a) e b).

d) A velocidade média do corpo decorrido 1,5 m de movimento.

21) O gráfico do espaço "s" de um móvel em função do tempo "t" a partir de uma origem "0", sobre uma reta é o representado ao lado. O móvel tem aceleração escalar nula:

(A) nunca;

(B) só entre 10 s e 20 s;

(D) só entre 0 s e 10 s.

22) No gráfico, representam-se as posições ocupadas por um corpo que se desloca numa trajetória retilínea, em função do tempo.

Pode-se, então, afirmar que o módulo da velocidade do corpo:

(A) aumenta no intervalo de 0 s a 10 s;

(B) diminui no intervalo de 20 s a 40 s;

(D) é constante e diferente de zero no intervalo de 10 s a 20 s;

(E) é maior no intervalo de 0 s a 10 s.

23) (ENEM-2018) O gráfico ao lado modela a distância percorrida, em km, por uma pessoa em certo período de tempo. A escala de tempo a ser adotada para o eixo das abscissas depende da maneira como essa pessoa se desloca.