Movimentos Simultâneos: Lançamento Horizontal e Lançamento Oblíquo

1) Se um movimento não for de trajetória retilínea como podemos descrever esse movimento?

Num mesmo instante, um movimento pode acontecer em diferentes direções. Chamamos isso de movimento simultâneo. Esses movimentos ocorrem ao mesmo tempo em direções diferentes e são percebidos como um só. Em nosso cotidiano existem várias situações em que esse tipo de movimento acontece.

O movimento do carrocel (imagem acima), por exemplo, é composto, pois, enquanto o brinquedo gira em relação a um eixo central, cada cavalo sobe e desce em uma linha vertical, formando algo semelhante a um gráfico senoidal (imagem abaixo). Podemos também citar as esteiras rolantes que existem em alguns aeroportos e estações de metrô que têm por finalidade diminuir o esforço da caminhada entre dois pontos. Se o pedestre andar sobre a esteira, ele terá a sua velocidade aumentada, pois a sua velocidade de caminhada será somada com a velocidade da esteira.

 

2) Como a Física estuda esse tipo de movimento?

É o estudo da composição dos movimentos que analisa movimentos que ocorrem ao mesmo tempo em direções diferentes e são percebidos como um só. Foi Galileu Galilei quem estudou esse tipo de movimento e propôs o princípio da independência dos movimentos simultâneos que afirma que dois ou mais movimentos que acontecem ao mesmo tempo podem ser analisados individualmente. Isso é possível pelo fato de serem movimentos independentes um do outro.

 

3) Exemplos práticos de movimentos simultâneos?

a) Um barco se movimentando a favor da correnteza de um rio:

v_b é o vetor velocidade desenvolvida pelo barco e

v_c é o vetor velocidade desenvolvida pela correnteza do rio.

Na figura, o sentido da correnteza está a favor do barco.

Velocidade resultante (v_r ): v_r = v_b + v_c

 

b) Um barco se movendo em sentido oposto à correnteza:

Na figura, o sentido da correnteza está contra o barco.

Velocidade resultante (v_r): v_r = v_b − v_c.

 

c) Um barco atravessando às margens de um rio:

Imagine uma travessia de um barco num rio que tem uma correnteza.

O barco sai do ponto A com intenção de chegar a B.

O barco não consegue atingir o ponto B devido a correnteza, indo parar no ponto C.

O vetor associado (representado pelo vetor resultante v_r) representa a soma vetorial das velocidades v_b e v_c.

Temos v_r² = v_b² + v_c².

 

d) No estudo dos lançamentos horizontal e oblíquo, percebemos que os movimentos ocorrem em duas dimensões. Ele é, portanto, um estudo de composição dos movimentos.

4) O que são lançamentos horizontais?

O lançamento horizontal é um movimento realizado por um objeto que fora arremessado.

O ângulo de lançamento é nulo e a velocidade inicial (v₀) é constante.

Ainda que receba esse nome, o lançamento horizontal une dois tipos de movimento: 

de queda livre na vertical 

e do movimento horizontal.

O movimento de queda livre é um movimento que possui ação da gravidade e aceleração constante. Ele é chamado de movimento uniformemente variado (MUV).

Por sua, vez, o movimento horizontal realizado pelo objeto é chamado de movimento uniforme (MU) e não possui aceleração. 

Para calcular o movimento realizado pelo lançamento horizontal, utiliza-se a fórmula:

v_x = v₀

x = x₀ + v₀ ∙ t (deslocamento s horizontal ou alcance A)

Por sua vez, se necessitamos calcular esse movimento em relação à queda livre, utilizamos a fórmula:

v_y = v₀ + g∙t

y = g∙t²/2 (deslocamento d vertical ou altura h)

 

5) O que é lançamento oblíquo?

O lançamento oblíquo ou de projétil é um movimento realizado por um objeto que é lançado na diagonal.

Esse tipo de movimento realiza uma trajetória parabólica, unindo movimentos na vertical (sobe e desce) e na horizontal. Assim, o objeto arremessado forma um ângulo (θ) entre 0° e 90° em relação a horizontal.

Nesse caso, o objeto é lançado com uma velocidade inicial (v₀) e está sob a ação da força da gravidade (g).

Geralmente, a velocidade vertical é indicado por v_y, enquanto a horizontal é v_x.

Isso porque quando ilustramos o lançamento oblíquo, utilizamos dois eixos (x e y) para indicar os dois movimentos realizados.

O vetor v₀ pode ser decomposto em cada uma das direções e, em relação ao ângulo θ de lançamento, obterão módulos:

v_0x = v₀ ∙ cos θ

v_0y = v₀ ∙ sen θ

Na direção vertical ele realiza um Movimento Uniformemente Variado (MUV) e utilizamos as equações:

                                   y = v_{0 y}∙ t  + g∙t² / 2 (deslocamento s em relação ao instante t)

            h_max = v_0y ∙ t_s  − g∙t_s² / 2 (altura máxima em relação ao instante t_s que alcança o ponto mais alto)

                                  v_y = v_0y  − g∙t (velocidade vertical na subida em relação ao instante t)

                                  v_y = v_0y  + g∙t (velocidade vertical na descida em relação ao instante t)

Já na direção horizontal, realiza o Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) e utilizamos as equações:

v_{x =} v_0x (velocidade horizontal constante)

A = d = v_0x ∙ t  (deslocamento horizontal ou alcance em relação ao instante t)

A_max =  v_0x ∙ 2t_s (alcance máxima em relação ao instante t_s que alcança o ponto mais alto)

Para saber o valor da velocidade em qualquer ponto da trajetória, é preciso somar vetorialmente v_x com v_y:

v = v_x + v_x

A posição inicial (s₀) indica o local onde tem início o lançamento. Já a posição final (s_f) indica o final do lançamento, ou seja, o local onde o objeto cessa o movimento parabólico e o alcance 

A = s_f − s_0.

Além disso, é importante notar que após lançado ele segue na direção vertical até atingir uma altura máxima e daí, tende a descer, também na vertical.

Como exemplos de lançamento oblíquo podemos citar: o chute de um futebolista, um atleta de salto à distância ou ainda, a trajetória realizada por uma bola de golfe.

 

6) Um projétil é lançado obliquamente com velocidade de 30 m/s, formando um ângulo de 30º com a horizontal. Em relação ao movimento desse projétil, calcule:

Dados: g = 10 m/s²; sen 30º = 0,5; cos 30º = 0,87.

a) A altura máxima atingida por ele.

b) O alcance máximo do projétil.

 

Resolução:

a) Podemos calcular a altura máxima atingida pelo projétil utilizando a fórmula a seguir:

                                                                h_max = v_0y ∙ t_s  − g ∙ t_s² / 2

O valor de  t_s é o tempo de subida e pode ser calculado pela função da velocidade em relação ao tempo no MRUV, zerando o valor da velocidade final, uma vez que, no ponto mais alto da trajetória(fim da subida), a velocidade vertical é nula:

                                                                            v_y = v_0y  − g ∙ t 

                                                                   0 = v₀ ∙ sen 30º − 10 ∙  t_s

                                                                                          0 = 30 x  0,5 − 10 ∙  t_s

                                                                                                  0 = 15 − 10 ∙  t_s

                                                                            10 ∙  t_s = 15 

                                                                                t_s = 15 / 10

                                                                                    t_s = 1,5 s 

Já conhecido o valor de t_s podemos calcular a altura máxima utilizando a equação referente:

h_max = v_0y ∙ t_s  − g ∙ t_s² / 2

h_max = v₀ ∙ sen 30º ∙ 1,5  − 10 ∙ 1,5² / 2

h_max = 30 x 0,5 x 1,5  − 10 ∙ 2,25 / 2

h_max = 22,5 − 22,5 / 2

h_max = 22,5 − 11,25

h_max = 11,25 m

b) Calcularemos o máximo alcance atingido pelo projétil por meio da fórmula abaixo:

A_max =  v_0x ∙ 2t_s

Dessa forma, teremos que:

A_max = v₀ ∙ cos 30º ∙ 2 x 1,5

A_max = 30 x 0,87 x 3

A_max = 78,3 m

 

7) O que é preciso saber sobre lançamento oblíquo?

ü  O lançamento oblíquo é um movimento bidimensional, composto de um movimento uniforme na direção horizontal e de um movimento uniformemente variado na direção vertical.

ü  As componentes da velocidade inicial do projétil podem ser calculadas por meio do seno e do cosseno do ângulo formado pelo vetor velocidade e a direção horizontal.

ü  O ângulo que favorece a distância máxima horizontal percorrida pelo projétil é o ângulo de 45º.

ü  No lançamento oblíquo, os tempos de queda e de subida são sempre iguais. 

ü  No ponto de altura máxima, a velocidade vertical do projétil é nula, e sua velocidade resultante é a própria componente horizontal da velocidade, que permanece constante durante todo o movimento.

Atividades:

1) Julgue cada afirmativa como verdadeira (V) ou falsa (F):

a) O Princípio de Galileu é também conhecido como Princípio da Ligação dos Movimentos Simultâneos. (    )

b) No lançamento horizontal, a componente horizontal da velocidade é constante em módulo, direção e sentido. (    )

c) A componente vertical da velocidade tem módulo crescente, mas direção e sentido invariáveis no lançamento horizontal. (    )

d) No lançamento horizontal, desprezando a resistência do ar, não há aceleração na direção horizontal; por essa razão, a velocidade nessa direção é constante. (    )

e) No lançamento oblíquo, o módulo da componente vertical da velocidade é constante. (     )

f) No lançamento vertical, a componente vertical da velocidade inicialmente diminui em módulo e depois aumenta. (     )

g) A componente horizontal da velocidade no lançamento vertical é inicialmente nulo. (     )

h) Se não existisse a aceleração da gravidade, a trajetória para um tiro de canhão seria uma linha reta. (     )

i) O efeito da gravidade provoca inicialmente uma redução do módulo da componente horizontal da velocidade em movimentos compostos. (     )

2) Como se chama o princípio que afirma que dois ou mais movimentos que acontecem ao mesmo tempo podem ser analisados individualmente?

      (A) Princípio de Planc

      (B) Princípio de Galileu

      (C) Princípio de Newton

      (D) Princípio de Joule

 

3) Uma bola é lançada verticalmente para cima. Podemos dizer que no ponto mais alto de sua trajetória:

      (A) a velocidade da bola é máxima, e a aceleração da bola é vertical e para baixo.

      (B) a velocidade da bola é máxima, e a aceleração da bola é vertical e para cima.

      (C) a velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é nula.

      (D) a velocidade da bola é mínima, e a aceleração da bola é vertical e para baixo.

 

4) Um pacote do correio é deixado cair de um avião que voa horizontalmente com velocidade constante. Podemos afirmar que (desprezando a resistência do ar):

         (A) um observador no avião e um observador em repouso no solo veem apenas o movimento vertical do objeto.
       (B) um observador no avião e um observador em repouso no solo veem apenas o movimento horizontal do objeto.

      (C) um observador no solo vê apenas um movimento vertical do objeto, enquanto um observador no avião vê o movimento horizontal e vertical.

      (D) um observador no solo vê apenas um movimento horizontal do objeto, enquanto um observador no avião vê apenas um movimento vertical.

      (E) um observador no solo vê um movimento horizontal e vertical do objeto, enquanto um observador no avião vê apenas um movimento vertical.

 

5) Uma menina, segurando uma bola de tênis, corre com velocidade constante, de módulo igual a 10,8 km/h, em trajetória retilínea, numa quadra plana e horizontal.

Num certo instante, a menina, com o braço esticado horizontalmente ao lado do corpo, sem alterar o seu estado de movimento, solta a bola, que leva 0,5 s para atingir o solo.

As distâncias s_m e s_b percorridas, respectivamente, pela menina e pela bola, na direção horizontal, entre o instante em que a menina soltou a bola (t = 0 s) e o instante t = 0,5 s, valem:

      (A) s_m = 1,25 m e s_b = 0 m.
      (B) s_m = 1,25 m e s_b = 1,50 m.
      (C) s_m = 1,50 m e s_b = 0 m.
      (D) s_m = 1,50 m e s_b = 1,25 m.
      (E) s_m = 1,50 m e s_b = 1,50 m.

6) Três pedras são atiradas horizontalmente, do alto de um edifício, tendo suas trajetórias representadas a seguir.

Admitindo-se a resistência do ar desprezível, é correto afirmar que, durante a queda, as pedras possuem:

      (A) acelerações diferentes.

      (B) tempos de queda diferentes.

       (C) componentes horizontais das velocidades constantes.

       (D) componentes verticais das velocidades diferentes, a uma mesma altura.

 

7) Observando a parábola do dardo arremessado por um atleta, um matemático resolveu obter uma expressão que lhe permitisse calcular a altura y, em metros, do dardo em relação ao solo, decorridos t segundos do instante de seu lançamento (t = 0).

Se o dardo chegou à altura máxima de 20 m e atingiu o solo 4 segundos após o seu lançamento, então, desprezada a altura do atleta, considerando g=10m/s², a expressão que o matemático encontrou foi:

      (A) y = – 5t² + 20t
      (B) y = – 5t² + 10t
      (C) y = – 5t² + t
      (D) y = -10t² + 50
      (E) y = -10t² + 10

 

8) Um índio dispara uma flecha obliquamente. Sendo a resistência do ar desprezível, a flecha descreve uma parábola num referencial fixo ao solo. Considerando o movimento da flecha depois que ela abandona o arco, é correto afirmar:

      (A) A flecha tem aceleração mínima, em módulo, no ponto mais alto da trajetória.

      (B) A flecha tem aceleração sempre na mesma direção e no mesmo sentido.

      (C) A flecha atinge a velocidade máxima, em módulo, no ponto mais alto da trajetória.

 

9) Em um jogo de futebol, o goleiro, para aproveitar um contra-ataque, arremessa a bola no sentido do campo adversário. Ela percorre, então, uma trajetória parabólica, conforme representado na figura, em 4 segundos.

Desprezando a resistência do ar e com base nas informações apresentadas, podemos concluir que os módulos da velocidade V, de lançamento, e da velocidade VH, na altura máxima, são, em metros por segundos, iguais a, respectivamente,

Dados: senβ = 0,8; cosβ = 0,6.

      (A) 15 e 25.

      (B) 15 e 50.

      (C) 25 e 15.

      (D) 25 e 25.

      (E) 25 e 50.

 

10) A bala de um canhão, com massa de 15 kg, é lançada com velocidade de 1.080 km/h. Determine o alcance horizontal máximo do projétil para o caso de o ângulo formado entre o canhão e a horizontal ser de 15°.

Dados: sen 30° = 0,5

Gravidade = 10 m/s².

      (A) 2,5 km

      (B) 3,5 km

      (C) 4,5 km

      (D) 5,5 km

      (E) 6,0 km

 

11) Marque a alternativa incorreta a respeito do lançamento oblíquo.

      (A) O ângulo que fornecerá o maior alcance horizontal possível é o de 45°.

      (B) Ao chegar na altura máxima a componente vertical da velocidade do móvel é nula.

      (C) A componente horizontal da velocidade mantêm-se inalterada, uma vez que no eixo x o movimento é classificado como retilíneo e uniforme.

      (D) A componente vertical da velocidade diminui desde o solo até se tornar nula na altura máxima, o que classifica o movimento como sendo acelerado.

      (E) A componente horizontal da velocidade pode ser determinada pelo produto da velocidade do objeto com o cosseno do ângulo com o qual o corpo abandona o solo.

12) Muitas áreas do conhecimento humano trabalham diretamente com conhecimentos de física, e uma delas é a área esportiva. Por isso, um físico foi convidado para projetar uma rampa para lançamentos de bicicletas e foram dadas as seguintes informações: a rampa, no formato de um triângulo retângulo, deve ter 4m de comprimento horizontal por 3m de altura, conforme a figura:

Um conjunto ciclista-bicicleta é lançado com uma velocidade inicial v₀ = 36km/h, com o objetivo de atingir a maior altura possível. Considerando-se g = 10m/s² e as informações dadas, a altura máxima atingida com relação ao solo em metros, será?

 

13) Um canhão dispara uma bala com velocidade inicial igual a 500m/s (em módulo), a 45° com a horizontal. Desprezando o atrito e considerando g = 10m/s², determine o alcance máximo horizontal da bala.

 

14) Um projétil é lançado segundo um ângulo de 30° com a horizontal, com uma velocidade de 200m/s. Supondo a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e desprezando a resistência do ar, o intervalo de tempo entre as passagens do projétil pelos pontos de altura 480 m acima do ponto de lançamento, em segundos, é:
(DADOS: sen 30° = 0,50 e cos 30° = 0,87)

      (A) 2,0
      (B) 4,0
      (C) 6,0
      (D) 8,0

      (E) 12 

15) Um avião voa horizontalmente a 2.000 m de altura, a uma velocidade de módulo 180 km/h. O aviador deve deixar cair uma caixa de medicamentos num alvo.  Desprezando a resistência do ar e considerando o módulo da aceleração da gravidade 10 m/s², determine:

a) o módulo da velocidade horizontal em m/s;

b) o tempo de queda da caixa;

c) quantos metros antes, na direção horizontal, o aviador deve abandonar a caixa de medicamentos para que ela atinja o local desejado;

d) o módulo da velocidade com que a caixa atinge o solo.

 

 

16) Uma bolinha se desloca sobre uma mesa com velocidade de 2 m/s até o ponto em que é iniciado um lançamento horizontal dela. Desprezado o atrito com o ar e considerando gravidade 10m/s² e a altura da mesa 1 metro, responda:

a)Quanto tempo leva para atingir o solo?

b) A que distância do pé da mesa a bolinha atinge o chão?

 

17) Um canhão lança um projétil com velocidade de módulo 100 m/s, formando um ângulo de 60° com a horizontal. Desprezando a resistência do ar, considerando cos 60º = 0,50, sen 60º = 0,87 e o módulo da aceleração da gravidade 10 m/s², determine:

a) a componente horizontal da velocidade inicial;

b) a componente vertical da velocidade inicial;

c) o tempo de subida;

d) a altura máxima atingida;

e) o alcance do projétil;

f) o módulo da velocidade do projétil 5,0 segundos após o disparo.​

 

18) Uma bola de tênis e lançada obliquamente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial de 8m/s. Sendo θ o angulo entre a horizontal e a velocidade inicial de lançamento da bolinha de tênis, determine, desprezando a resistência do ar e considerando sen θ = 0,6 e cos θ = 0,8; a aceleração da gravidade e constante e igual a 10 m/s²:

a) a altura máxima atingida pela bola de tênis.

b) a que distancia do ponto de lançamento a bola de tênis atinge o solo.

 

19) Um projétil é lançado horizontalmente de uma altura de 20 m, com velocidade inicia de módulo igual a 15 m/s. Desprezando-se a resistência do ar e considerando-se o módulo da aceleração gravitacional como 10 m/s², determine:

a) o tempo total até o projétil atingir o solo.

b) a distância horizontal percorrida pelo projétil até tocar o solo.

Aprofunde-se:

Como é possível fazer os cálculos nas variáveis na descrição de um movimento oblíquo?

Para calcular o lançamento oblíquo no sentido vertical, utiliza-se a fórmula da Equação de Torricelli:

v² = v₀² + 2 ∙a ∙Δs

Onde,

v: velocidade final

v₀: velocidade inicial

a: aceleração

Δs: variação de deslocamento do corpo

 

Ela é utilizada para calcular a altura máxima atingida pelo objeto. Assim, a partir da equação de Torricelli podemos calcular a altura decorrente do ângulo formado:

Onde:

H: altura máxima

v₀: velocidade inicial

sen θ: ângulo realizado pelo objeto

g: aceleração da gravidade

 

Além disso, podemos calcular o lançamento oblíquo do movimento realizado na horizontal.

Importante notar que, nesse caso o corpo não sofre aceleração da gravidade. Assim, temos a equação horária do MRU:

s = s₀ + v ∙ t

Onde,

s: posição

s₀: posição inicial

v: velocidade

t: tempo

 

A partir dela, podemos calcular o alcance horizontal do objeto:

A = v ∙ cosθ ∙ t

Onde,

A: alcance do objeto na horizontal

v: velocidade do objeto

cos θ: ângulo realizado pelo objeto

t: tempo

 

Posto que o objeto lançado retorna ao solo, o valor a ser considerado é o dobro do tempo de subida.

Assim, a fórmula que determina o alcance máximo do corpo é definido da seguinte maneira:

Exemplo: Um projétil é lançado obliquamente com velocidade de 30 m/s, formando um ângulo de 30º com a horizontal. Em relação ao movimento desse projétil, calcule:

Dados: g = 10 m/s²

a) A altura máxima atingida por ele.

b) O alcance máximo do projétil.

 

Resolução:

a) Podemos calcular a altura máxima atingida pelo projétil utilizando a fórmula a seguir:

Tomando os dados fornecidos pelo enunciado do exercício, temos que:

b) Calcularemos o máximo alcance atingido pelo projétil por meio da fórmula abaixo:

Dessa forma, teremos que: