Movimento Circular e Força Centrípeta

  

1) O que é descrito  como um movimento circular?

O movimento circular pode ser frequentemente observado em nosso cotidiano. Certos fenômenos da natureza como a trajetória da Terra em torno do Sol e o movimento dos planetas e satélites, podem ser considerados em algumas situações como movimentos circulares. Bem como, um corpo girando em torno de um eixo de rotação, como a roda de bicicleta, um pião, a roda gigante, o carrossel ou uma bailarina girando em torno de si mesma, são considerados movimentos circulares.

 

2) Como é considerado pela Física um movimento circular?

Como velocidade é uma grandeza vetorial, a análise de um movimento circular implica perceber a alteração da velocidade, que pode ocorrer tanto em módulo como em direção. É possível ver isso, quando com os braços encolhido, ela gira mais rapidamente e braços abertos ela controla a velocidade de rotação, podendo seu movimento ficar mais lento e mais fácil de parar.

 

3) Como é analisado essa mudança de velocidade no movimento circular?

Assim, todo corpo em movimento circular é provido de uma aceleração, podendo esta ter duas componentes:

a) aceleração centrípeta (a_c): indica a variação da direção da velocidade ao longo do tempo;

b) aceleração tangencial (a_t): indica a variação do módulo de velocidade ao longo do tempo.

Desse modo, podemos afirmar que a aceleração em um movimento circular (ϒ) é a soma vetorial da componente centrípeta da aceleração com a componente tangencial, que pode ser determinada da seguinte forma:

 

4) Como é descrito a direção e o sentido do movimento circular?

A componente centrípeta da aceleração está sempre dirigida para o centro da circunferência descrita pelo corpo, e a componente tangencial muda de direção a todo instante, sendo sempre tangente à trajetória descrita pelo corpo.

 

5) Como calcula-se a intensidade das acelerações de um movimento circular?

Como a aceleração centrípeta é perpendicular à velocidade escalar instantânea (v) do móvel, a sua intensidade é calculada por: 

sendo r o raio da trajetória.

Já a intensidade da aceleração tangencial coincide com a da aceleração escalar: 

a_t = |a|.

 

 

6) Como calcula-se a intensidade do módulo da velocidade no movimento circular?

Um corpo que executa um movimento circular descreve, em um determinado intervalo de tempo Δt, um ângulo Δϕ relativo ao seu deslocamento angular. Podemos, então, definir uma velocidade angular média ω_m, por meio da relação:

onde ω_m  é expresso em rad/s.

 

7) É possível falar de um movimento circular uniforme?

O ponteiro dos segundos de um relógio analógico é um exemplo de movimento circular uniforme (MCU). O MCU é todo movimento que apresenta:

a) trajetória circular;

b) intensidade da velocidade escalar constante e diferente de zero;

c) a aceleração centrípeta não nula, pois a velocidade varia em direção e sentido.

 

8) Como é tratado o deslocamento angular no MCU?

Quando um móvel executa movimento circular uniforme, ele efetua duas passagens sucessivas pelo mesmo ponto da trajetória sempre no mesmo intervalo de tempo. Assim, dizemos que esse movimento é periódico: depois de passar pelo mesmo ponto, ele se repete.

 

9) Como é tratado o intervalo de tempo no MCU?

O intervalo de tempo para realizar uma volta recebe o nome de período (T), cuja unidade no SI é o segundo (s); o número de vezes que o fenômeno se repete na unidade de tempo é chamado de frequência (f), e sua unidade no SI, rotações por segundo (rps), também denominado hertz (Hz). É comum ser medida também em rotações por minuto (rpm).

 

10) Que relação existe entre frequência e período?

A frequência é medida como o percurso de uma volta num determinado tempo, ou seja, 

Disso, temos que o período é o inverso da frequência. 

11) Como é tratada a velocidade angular no MCU?

No MCU, o módulo da velocidade angular é constante, se considerarmos uma volta completa, e será o quociente do ângulo 2π radiano, ou 360 graus, pelo período, pois:

ω = ω_m = Δϕ / Δt 

ω = 2π / T

ω = 2π ∙ f

 

12) Finalmente, como é tratada a velocidade em cada ponto da trajetória circular?

Estando em movimento o corpo, nesse caso considerado um ponto material, vai percorrer distâncias iguais em intervalos de tempo, isto é, ele vai ter velocidade (v), e essa velocidade é a velocidade linear ou escalar, diferente da velocidade angular. Sabendo que v = Δs / Δt, podemos obter uma expressão para o valor de v no MCU. Como o comprimento da circunferência é 2πr e o tempo para descrever 1 ciclo é igual ao período T, temos: v = 2πr / T. E relacionando a velocidade angular com a velocidade escalar, temos: v = ω ∙ r.

13)  Um carro descreve um movimento circular uniforme segundo uma trajetória de raio r = 10 m e velocidade escalar v = 8 m/s. Determine a intensidade das acelerações tangencial, centrípeta e vetorial.

a_t = 0, porque o movimento é uniforme.

a_c = v²/ r = 8² / 10 = 64 / 10 = 6,4 m/s².

ϒ = a_t + a_c = 0 + a_c =  a_c = 6,4 m/s².

 

14) Um ponto material executa um MCU cuja trajetória tem 6 m de raio com velocidade de módulo 3 m/s. Determine a sua velocidade angular e o ângulo, em graus, que descreve em 5s.

a) v = ω∙r

3 = ω∙6

ω = 3/6

ω = 0,5 rad/s.

 

b) ω_m = Δϕ / Δt

0,5 = Δϕ / 5

Δϕ = 0,5 x 5

Δϕ = 2,5 rad

Δϕ = 2,5 x (180 / π)

Δϕ = 450 / π

Δϕ ≈ 450 / 3

Δϕ ≈ 140 graus.

 

15) Uma polia está ligada a um motor que efetua 3.000 rpm. Determine a frequência em Hz e o período do movimento.

a) A polia descreve 3.000 rotações por minuto, o que equivale a 3.000 rotações em 60 segundos, então:

f = 3.000 / 60 

f = 50 Hz.

b) Como a frequência é o inverso do período, temos:

T = 1/f

T = 1/50

T = 0,02 s.

 

16) É possível falar em movimento circular uniformemente variado?

Quando se inicia qualquer movimento circular, a velocidade angular não permanece constante. Se a velocidade angular experimenta variações iguais, temos o movimento circular uniformemente variado (MCUV). Nesses casos, costuma-se também definir uma aceleração angular, calculada pela variação da velocidade angular dividida pelo tempo e que apresenta valor constante. 

17) Um carro executa um movimento uniformemente variado, numa trajetória circular de 100 m de raio, com aceleração escalar a = 2 m/s². Sabendo que o carro partiu do repouso, determine, após 5 s de movimento a velocidade escalar e as acelerações tangencial,  centrípeta e vetorial.

 a) velocidade escalar: v = v₀ + at

v = 0 + 2 x 5 = 10 m/s

b) aceleração tangencial: a_t = |a| = 2 m/s²

c) aceleração centrípeta: a_c = v² / r

a_c = 10² / 100

a_c = 1 m/s²

d) aceleração vetorial ou total:

ϒ² = a_t² + a_c² = 2² + 1²

ϒ² = 4 + 1 = 5

ϒ = √5

ϒ ≈ 2,2 m/s²

18) Existem outros tipos de manifestações do movimento circular?

Nas oscilações de um pêndulo, o módulo do vetor velocidade anula-se nas posições extremas e é máxima ao passar pela posição vertical. Quando o ângulo de oscilação não é muito grande, temos o movimento harmônico simples (MHS). Esse é um movimento variado, mas não uniformemente, pois o módulo da aceleração na direção do movimento não é constante, variando de ponto a ponto na trajetória do pêndulo. 

Os motores, em geral, têm uma frequência de rotação fixa, que depende de rotação fixa que depende da forma como eles são construídos e das suas condições de utilização. Entretanto, as máquinas acionadas por eles têm, quase sempre, sistemas girantes que exigem diferentes frequências de rotação fornecidas, muitas vezes, por um só motor.

Para isso, o eixo desse motor é acoplado a polias de diferentes diâmetros por meio de correias ou engrenagens.

Suponha, por exemplo, que uma polia, fixa no eixo de um motor, tenha uma circunferência de raio r₁ e gire com uma frequência f₁. Ela está acoplada, por intermédio de uma correia, a outra polia de raio r₂, ligada a uma máquina qualquer. Qual será a frequência de rotação f₂, dessa polia? Como você pode ver na Figura abaixo, a correia tem a mesma velocidade v dos pontos da periferia de ambas as polias.

Lembrando que v = 2π ∙ r ∙ f, temos:

Para a polia do motor:

v = 2π ∙ r₁ ∙ f₁ (1)

Para a polia ligada à máquina:

v = 2π ∙ r₂ ∙ f₂ (2)

Comparando (1) e (2), obtemos:

2π ∙ r₁ ∙ f₁ = 2π ∙ r₂ ∙ f₂

r₁ ∙ f₁ = r₂ ∙ f₂

 Por essa relação, pode-se obter o valor de f₂:

f₂ = r₁ ∙ f₁  / r₂

Observe que, se r₁ for maior que r₂, f₂ será maior que f₁, isto é, quando a polia do motor tiver um raio maior que a polia da máquina, haverá um aumento na frequência de rotação e vice-versa. 

19) Duas polias de raio r₁ e r₂ giram acopladas por uma correia que não desliza. Se a polia menor tem raio r₁ = 10 cm e frequência f₁ = 2.400 Hz, qual a frequência de rotação da polia maior, considerando que seu raio é de 40 cm?

Os pontos na periferia das rodas, polias ou engrenagens têm a mesma velocidade escalar. Então:

f₂ = 2.400 x 10 / 40

f₂ = 600 Hz. 

20) Que tipo de forças atuam em movimentos circulares?

Em uma trajetória circular, pelo menos a direção do vetor velocidade varia, como num exemplo de um carro numa curva. Quando o velocímetro do carro indica um valor constante, sua velocidade varia em direção e sentido durante a curva. De acordo com a segunda lei de Newton, a variação na direção da velocidade está associada à ação de uma força que, nesse caso, recebe o nome de força centrípeta. Como na segunda lei de Newton é estabelecido que a força resultante e aceleração possuem relação de causa-efeito. Então:

F = m ∙ a

F_c = m ∙ a_c

F_c = m ∙ v² / r.

 

A força centrípeta é apenas a denominação particular da força resultante que atua sobre um corpo em MCU, não um novo tipo de força.

 

Atividades:

1) Julgue cada afirmativa abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F):

a) O intervalo de tempo que um móvel gasta para descrever apenas uma volta ou ciclo num MCU é denominado período do movimento. (    )

b) Sempre que o período estiver em segundos, a frequência correspondente será dada em hertz. (    )

c) Uma frequência de 1 rpm corresponde a 60 hertz. (    )

d) Um MCU é chamado de periódico quando o fenômeno se repete sempre no mesmo intervalo de tempo. (    )

e) Em um MCU, a aceleração é sempre nula. (    )

f) Em MCU, a velocidade escalar é constante. (    )

g) No MCU, a velocidade vetorial e a aceleração centrípeta são constantes. (    )

h) Em um MCUV, a aceleração tangencial é constante. (    )

i) Se o módulo da aceleração tangencial é 4 m/s² e o módulo da aceleração centrípeta é 3 m/s², o módulo da aceleração vetorial vale 7 m/s². (    )

j) O movimento de um carrossel, é um exemplo de MCU em toda sua trajetória. (    )

k) Quando um veículo faz uma curva com velocidade constante, sua quantidade de movimento também é constante. (   )

l) Ao realizar uma curva com velocímetro marcando um valor constante, a força, de acordo com a lei fundamental dos movimentos, é nula. (   )

 

2) Um corpo em MCU completa 20 voltas em 10s. Qual a frequência, o período e a velocidade angular do movimento?

 

3) Dado um relógio analógico, determine o período, a frequência e a velocidade angular do ponteiro:

a) dos segundos;

b) dos minutos;

c) das horas.

 

4) Um automóvel corre 72 km/h (= 20 m/s). Suas rodas têm 40 cm (= 0,4 m) de diâmetro.

a) Qual a velocidade angular de cada roda? (v = ω ∙ r)

b) Qual a frequência em hertz das rodas? (ω = 2π ∙ f)

c) Quantas rotações por minuto elas executam? (Use π ≈ 3)

 

5) Admitindo-se que a Lua gira ao redor da Terra em movimento circular uniforme, é correto afirmar que:

        (A) a aceleração da Lua é nula.

        (B) a velocidade da Lua é constante em módulo, direção e sentido.

        (C) a velocidade angular da Lua tem módulo constante.

        (D) a aceleração centrípeta da Lua é constante em módulo, direção e sentido.

 

6) Uma manual de furadeira informa que, na posição de máximo giro é de 3.600 rotações por minuto. Considerando um ponto localizado na broca, em máxima rotação, é correto afirmar que:

        (A) seu período é 3.600 rpm.

        (B) sua frequência é 60 Hz.

        (C) seu período é 60 segundos.

        (D) sua frequência é 360 rpm.

 

7) Sabendo que o raio da Terra mede aproximadamente 6.400 km, determine:

a) sua velocidade angular de rotação, em rad/h;

b) a velocidade escalar de um ponto do equador em km/h. Considere π ≈ 3;

c) a aceleração centrípeta da rotação da Terra.

 

8) Um satélite artificial descreve uma órbita circular a 1.600 km da superfície da Terra, efetuando uma revolução a cada 2h. Sabendo que o raio da Terra é 6.400 km, determine:

a) a velocidade angular do satélite.

b) o módulo da velocidade do satélite.

 

9) Um ponto material descreve uma trajetória circular de raio igual a 20 m com velocidade escalar constante igual a 4π m/s.

a) a velocidade angular da partícula;

b) o módulo da aceleração centrípeta;

c) o número de voltas efetuadas pelo ponto material a cada segundo.

 

10) Uma criança encontra-se num carrossel que gira com velocidade angular constante, executando uma volta completa a cada 10s. A criança mantem, em relação ao carrossel, uma posição fixa a 2 m do eixo de rotação.

a) Represente, numa circunferência, a trajetória circular da criança e assinale os vetores velocidade v e aceleração a correspondentes a uma posição arbitrária da criança;

b) Calcule as intensidades de v e a.

 

11) Dois atletas partem dos pontos A e B de uma pista de corrida circular. Sabendo que ambos retornam aos pontos A e B no mesmo instante, responda:

a) qual deles tem maior velocidade linear?

b) qual deles tem maior velocidade angular?

  

12) Os pneus de um carro têm 60 cm de diâmetro, com calotas de 30 cm de diâmetro. Suponha que o carro esteja com velocidade de 108 km/h (= 30 m/s). Determine:

a) a velocidade de um ponto localizado na borda de um pneu (v_p);

b) a velocidade angular (ω_p) desse ponto;

c) a velocidade angular (ω_c) de um ponto na borda de uma das calotas;

d) a velocidade (v_c) desse ponto;

e) a frequência e o período do movimento desses pneus.

 

13) Uma polia de 10 cm de raio gira com frequência 1.800 rpm. Determine:

a) A frequência da polia em hertz e seu período em segundos;

b) A sua velocidade angular;

c) A velocidade de um ponto da periferia da polia.

 

14) A polia de um motor tem 15 cm de raio e gira com uma frequência de 1.200 rpm. Determine:

a) a sua frequência em hertz e seu período em segundos; 

b) a sua velocidade angular;

c) a velocidade de um ponto na periferia da polia;

d) a aceleração centrípeta desse ponto;

e) qual deveria ser o raio de uma outra polia que, acoplada a essa, gire com uma frequência de 400 rpm.

 

15) Um satélite está a 800 km de altura, em órbita circular, efetuando uma rotação em 2 horas.

a) Qual a velocidade (em m/s) e aceleração centrípeta (em m/s²) desse satélite, admitindo-se que ele está sobre o equador e que o raio da Terra é de 6.400 km?

b) Suponha que, no satélite há um astronauta de massa 70 kg. Qual a força que a Terra exerce sobre ele?

 

16) Um ponto material executa um MCU de 0,6 m de raio em período de 4 segundos. Suponha que no instante t = 0, o ângulo descrito pelo raio que passa pelo ponto ϕ₀, seja zero. Determine:

a) a frequência do movimento;

b) a sua velocidade angular;

c) a lei angular do movimento desse ponto material;

d) represente graficamente a posição desse ponto material no instante t = 8,5 s.

 

17) Duas polias A e B, de raios respectivamente iguais a 28 cm e 40 cm, estão ligadas por uma correia inextinguível. A polia A executa 600 rpm. Determine a velocidade escalar de um ponto da correia e as velocidades angulares das polias.

 

18) Duas polias de raios r₁ = 20 cm e r₂ = 100 cm estão acopladas entre si por meio de uma correia, como mostra a figura. A polia menor gira em torno de seu eixo  com frequência f₁ = 300 rpm. Suponha que não haja deslizamento entre as polias e a correia, calcule:

a) a frequência do disco maior;

b) a velocidade escalar da correia, considerando π ≈ 3;

c) a velocidade angular de cada polia, considerando π ≈ 3.

 

19) Uma engrenagem é constituída por vários discos interligados de maneira que não há deslizamento entre eles. A roda IV gira no sentido horário com velocidade angular ω. Indique qual disco com menor velocidade angular e em que sentido. 

20) Um carro de massa 800 kg faz uma curva circular plana e horizontal de 100 m de raio, com velocidade de 72 km/h. Qual a resultante das forças que atuam sobre ele?

 

21) Você é passageiro num carro e, imprudentemente, não está usando o cinto de segurança. Sem variar o módulo da velocidade, o carro faz uma curva fechada para a esquerda e você se choca contra a porta do lado direito do carro. A afirmativa verdadeira que explica a situação é:

        (A) Antes e depois da colisão com a porta, há uma força para a direita empurrando você contra a porta.

        (B) Por causa da lei de inércia, você tem a tendência de continuar em linha reta, de modo que a porta, que está fazendo uma curva para a esquerda, exerce uma força sobre você para a esquerda, no momento da colisão.

        (C) Por causa da curva, sua tendência é cair para a esquerda.

        (D) Existe aceleração centrípeta sob a porta que exerce uma força e move o seu corpo para a direita, no momento da colisão.

 

22) Os motores geralmente apresentam uma frequência de rotação fixa, e as máquinas que são acionadas por esses motores, na maioria das vezes, são sistemas gigantes que precisam de diferentes frequências de rotação, que podem ser fornecidas por um só motor. Isso justifica o porquê de o eixo de alguns motores ser acoplado a polias de diferentes tamanhos por meio de correias ou engrenagens. Suponha que um mosquito da dengue resolve pousar a 6 cm do centro de uma polia de 8 cm de raio e que realiza 40 rpm, conforme ilustra a figura a seguir. 

Qual a opção correta sobre as velocidades angular ω e vetorial v abaixo:

        (A) ω = 4π/3 rad/s

              v = 8π cm/s.

        (B) ω = 8π/3 rad/s

              v = 4π cm/s.

        (C) ω = 3π/4 rad/s

              v = 8π cm/s.

        (D) ω = 3π/8 rad/s

              v = 8π cm/s.

23) (ENEM-2014) As bicicletas possuem uma corrente que liga uma coroa dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda traseira. O número de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada depende do tamanho relativo destas coroas. Em que opção abaixo a roda traseira dá maior número de voltas por pedalada?

 

24) Apesar de toda a tecnologia aplicada no desenvolvimento de combustíveis não poluentes, que não liberam óxidos de carbono, a bicicleta ainda é o meio de transporte que, além de saudável, contribui com a qualidade do ar. A bicicleta, com um sistema constituído por pedal, coroa, catraca e corrente, exemplifica a transmissão de um movimento circular.

Pode-se afirmar que, quando se imprime aos pedais da bicicleta um movimento circular uniforme é FALSO afirmar que:

        (A) o movimento circular do pedal é transmitido à coroa com a mesma velocidade angular.

        (B) a velocidade angular da coroa é igual à velocidade linear na extremidade da catraca.

        (C) cada volta do pedal corresponde a duas voltas da roda traseira, quando a coroa tem diâmetro duas vezes maior que o da catraca.

 

25) Com relação ao funcionamento de uma bicicleta de marchas, onde cada marcha é uma combinação de uma das coroas dianteiras com uma das coroas traseiras, são formuladas as seguintes afirmativas, indique a que afirmativa FALSA:

        (A) Numa bicicleta que tenha duas coroas dianteiras e cinco traseiras, temos um total de dez marchas possíveis onde cada marcha representa a associação de uma das coroas dianteiras com uma das traseiras.

        (B) Em alta velocidade, convém acionar a coroa dianteira de maior raio com a coroa traseira de maior raio também.
        (C) Em uma subida íngreme, convém acionar a coroa dianteira de menor raio e a coroa traseira de maior raio.

26) Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de uma circunferência de raio R é igual a 2πR, onde π ≈ 3 ?

27) A figura representa dois atletas numa corrida, percorrendo uma curva circular, cada um em uma raia. Eles desenvolvem velocidades lineares com módulos iguais e constantes, num referencial fixo no solo. Atendendo à informação dada, assinale a resposta correta.

        (A) Em módulo, a aceleração centrípeta de A é maior do que a aceleração centrípeta de B.

        (B) Em módulo, as velocidades angulares de A e B são iguais.

        (C) A poderia acompanhar B se a velocidade angular de A fosse maior do que a de B, em módulo.

        (D) Se as massas dos corredores são iguais, a força centrípeta sobre B é maior do que a força centrípeta sobre A, em módulo.

        (E) Se A e B estivessem correndo na mesma raia, as forças centrípetas teriam módulos iguais, independentemente das massas.

28) (ENEM-2013) Para serrar os ossos e carnes congeladas, um açougueiro utiliza uma serra de fita que possui três polias e um motor. O equipamento pode ser montado de duas formas diferentes, P e Q. Por questão de segurança, é necessário que a serra possua menor velocidade linear. 

Por qual montagem o açougueiro deve optar e qual a justificativa desta opção?

        (A) Q, pois as polias 1 e 3 giram com velocidades lineares iguais em pontos periféricos e a que tiver maior raio terá menor frequência.

        (B) Q, pois as polias 1 e 3 giram com frequências iguais e a que tiver maior raio terá menor velocidade linear em um ponto periférico.

        (C) P, pois as polias 2 e 3 giram com frequências diferentes e a que tiver maior raio terá menor velocidade linear em um ponto periférico.

        (D) P, pois as polias 1 e 2 giram com diferentes velocidades lineares em pontos periféricos e a que tiver menor raio terá maior frequência.

        (E) Q, pois as polias 2 e 3 giram com diferentes velocidades lineares em pontos periféricos e a que tiver maior raio terá menor frequência.

Comentário:

Como o objetivo do açougueiro é diminuir a velocidade linear da serra, a frequência de rotação das polias 2 e 3 (iguais por estarem ligadas ao mesmo eixo central) deve ser a menor possível, pois v = λf. Na montagem P, as polias 1 e 2 possuem a mesma velocidade linear por estarem ligadas por uma correia. O mesmo acontece com as polias 1 e 3 na montagem Q. Quanto maior o raio, menor será a frequência de rotação. Como o raio da polia 3 é maior, deve ser escolhida a montagem Q, pois as polias 1 e 3 giram com velocidades lineares iguais em pontos periféricos e a que tiver maior raio terá menor frequência.

29) Um automóvel de massa 650 kg realiza uma curva em uma estrada plana e horizontal de raio 20 m, com uma velocidade de 36 km/h.

a) Determine o valor da aceleração centrípeta desse automóvel, em m/s².

b) Determine o valor da força centrípeta responsável pela variação da sua velocidade.

 

30) Um corpo de massa 1,5 kg está descrevendo uma trajetória circular de raio 2 m com movimento uniforme de velocidade v = 4 m/s.

a) Para o objeto descrever esse movimento é necessário que haja uma força atuando sobre ele. Como se denomina essa força?

b) Calcule o módulo dessa força. Para onde ela aponta?

c) Se a força deixasse de atuar sobre o corpo, que tipo de movimento ele teria?

 

31) Uma pessoa gira um barbante de 1 metro de extensão a uma velocidade de 2 m/s. Na extremidade do barbante há um pedra de 100g. Calcule o valor da aceleração centrípeta da pedra e da força centrípeta que atua nela. 

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